پرگار | کوتاهترین مقالهی ریاضی دنیا
پرگار | کوتاهترین مقالهی ریاضی دنیا
پنجشنبه، ۲ مهر ۱۴۰۵
مقالهای دو جملهای که یک حدس ۲۰۰ ساله را شکست
گاهی برای تغییر دادن ریاضیات به صدها صفحه محاسبه و اثبات نیاز است؛ گاهی هم یک معادله کافی است.
در سال ۱۹۶۶، دو ریاضیدان به نامهای لئون لندر و توماس پارکین مقالهای منتشر کردند که امروز بهعنوان یکی از کوتاهترین مقالههای مشهور ریاضی شناخته میشود. متن اصلی مقاله تقریباً فقط دو جمله داشت، اما همان دو جمله کافی بود تا حدسی را که نزدیک به دو قرن از عمرش میگذشت، نقض کند.
ماجرا از فرما شروع میشود
برای فهمیدن اهمیت این مقاله، باید کمی عقبتر برویم.
قضیه آخر فرما میگوید اگر n بزرگتر از ۲ باشد، نمیتوان سه عدد صحیح مثبت a، b و c پیدا کرد که رابطه زیر را برقرار کنند:
aⁿ + bⁿ = cⁿ
برای توان دوم چنین رابطهای کاملاً ممکن است. مثلاً:
3² + 4² = 5²
اما اگر توان را به ۳، ۴، ۵ و بالاتر ببریم، دیگر چنین رابطهای با اعداد صحیح مثبت وجود ندارد.
لئونارد اویلر در قرن هجدهم ایدهای گستردهتر را مطرح کرد. حدس او، به زبان ساده، این بود که برای ساختن یک توان nام از جمع توانهای nام، دستکم به n جمله نیاز داریم.
یعنی مثلاً برای توان چهارم، نباید بتوان تنها با سه عدد به رابطهای مانند این رسید:
a⁴ + b⁴ + c⁴ = d⁴
و برای توان پنجم نیز چهار عدد نباید کافی باشند:
a⁵ + b⁵ + c⁵ + d⁵ = e⁵
این حدس در سال ۱۷۶۹ مطرح شد و برای مدت بسیار طولانی کسی نتوانست مثال نقضی برای آن پیدا کند.
تا اینکه کامپیوتر وارد ماجرا شد
تقریباً دو قرن بعد، لندر و پارکین تصمیم گرفتند بهجای تلاش برای اثبات حدس اویلر، دنبال چیزی بگردند که بتواند آن را رد کند: یک مثال نقض. آنها با استفاده از کامپیوتر CDC 6600 جستوجویی میان اعداد انجام دادند و سرانجام به یک رابطه عجیب رسیدند:
27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵
این معادله دقیقاً همان چیزی بود که نباید وجود میداشت. چهار عدد به توان پنج رسیدهاند و مجموعشان دقیقاً برابر با توان پنجم یک عدد دیگر شده است. اما حدس اویلر میگفت برای رسیدن به یک توان پنجم، حداقل پنج توان پنجم لازم است. اینجا فقط چهار تا کافی بود. همین یک معادله برای رد کردن حدس کافی بود.
مقالهای که تقریباً چیزی برای اضافه کردن نداشت
نتیجه آنقدر مستقیم بود که مقاله لندر و پارکین نیازی به مقدمهای طولانی، دهها قضیه یا صفحات متعدد اثبات نداشت.
عنوان مقاله این بود:
Counterexample to Euler's Conjecture on Sums of Like Powers
این مقاله در سال ۱۹۶۶ در نشریه Bulletin of the American Mathematical Society منتشر شد و متن اصلی آن در صفحه ۱۰۷۹ قرار داشت.
حرف اصلی مقاله تقریباً همین بود:
27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵
و همین برای تمام شدن ماجرا کافی بود.
چرا یک مثال میتواند یک حدس را از بین ببرد؟
شاید جالبترین بخش این داستان نه کوتاهی مقاله، بلکه منطق پشت آن باشد.
فرض کنید کسی ادعا کند: «همه اعداد اول فرد هستند.» برای رد کردن این جمله لازم نیست هزاران عدد اول را بررسی کنیم. کافی است عدد ۲ را نشان دهیم. چون ۲ هم عدد اول است و هم زوج. در ریاضیات، اگر یک ادعا درباره همه اعضای یک مجموعه باشد، پیدا کردن تنها یک مورد که از آن پیروی نکند برای رد کردن کل ادعا کافی است. به چنین موردی مثال نقض میگوییم.
حدس اویلر هم دقیقاً چنین وضعیتی داشت. لندر و پارکین لازم نبود صدها رابطه متفاوت پیدا کنند. همان یک رابطه کافی بود:
27⁵ + 84⁵ + 110⁵ + 133⁵ = 144⁵
اما داستان هنوز تمام نشده بود
مثال لندر و پارکین مربوط به توان پنجم بود. سالها بعد، در سال ۱۹۸۸، ریاضیدانی به نام نوام الکیس نشان داد که حالت توان چهارم حدس اویلر نیز درست نیست و برای آن هم میتوان مثال نقض پیدا کرد.
به این ترتیب، حدسی که در نگاه اول تعمیمی بسیار طبیعی از قضیه آخر فرما به نظر میرسید، در نهایت درست از آب درنیامد.
این داستان یکی از ویژگیهای مهم ریاضیات را خیلی خوب نشان میدهد:
درست بودن یک الگو در هزاران مثال، آن را به یک قضیه تبدیل نمیکند.